IYPT 2026 No. 8 磁力加速器

理论现状与数值解计划 | 更新: 2026-08-11

一句话结论：这是一个有限行程去钉扎问题。发散几何产生有限、空间波纹状的磁势能景观；只有当独立签署的端点落差和每个下游势垒/损耗裕度都允许时，宽→窄设置才会加速。运动将有限落差转化为平动和车轮转动，而涡流阻尼、滚动损耗、接触、抬起、滑移和横向/偏航不稳定性限制了可实现性。

从基本变量到三条方程

评委需要看到每个符号从哪里来。我们从题目给定或设定书冻结的最小独立变量集出发，一步步推导出三条承载方程。

Step 0: 基本独立变量（"已知"）

这些是唯一的输入。其他所有量都是推导出来的。

符号物理意义取值/范围
$l_x, l_y, h_b$固定磁体尺寸（长×宽×高）$20 \times 10 \times 5$ mm
$M_b$固定磁体磁化强度（z方向，均匀）$+M_b \hat{\mathbf z}$
$R, r, h_w$车轮磁体外径/内径/厚度$R=25$ mm, $r=6$ mm, $h_w=10$ mm
$M_w$车轮磁化强度（y方向，沿车轴）$\pm M_w \hat{\mathbf y}$
$N$固定磁体对数10–30
$a, \theta$楔形窄端半宽、开张角$a=15$ mm, $\theta=5^\circ$
$L$轨道长度（窄到宽）$L=300$ mm
$t_p$板厚$t_p=0.5$ mm
$\chi_p$板磁化率（线性、可逆）$\chi_p = 9$（钢）
$\sigma_p$板电导率$\sigma_p = 2 \times 10^6$ S/m
$s$行程坐标（宽→窄），$s=0$ 在宽端$s \in [0, L]$

注：车轮和车轴刚性绑定、共同旋转。两个车轮磁化方向相反（$y>0$ 轮 $+M_w$，$y<0$ 轮 $-M_w$），形成磁四极子。

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Step 0.5: 假设台账（"简化"）

这不是可选的。我们做的每个简化都是潜在的失败点。显式列出，附可检验判据。

ID假设判据检验方法状态
A-1硬磁体刚性均匀磁化反向场 $|H_{\rm reverse}| \ll M_b$ 处处成立退磁曲线检查LOAD-BEARING
A-2纯滚动无滑移；接触保持$N_L > 0$, $N_R > 0$, $\Pi_{\rm slip}^* < 0.8$符号距离、摩擦圆RISKY
A-3板磁化沿厚度分段均匀$n_z=1 \to 2 \to 4$ 层收敛（固定 $t_p$）层细化检验RISKY
A-4板响应线性可逆$\Pi_{\rm sat} = \max|\mathbf M|/M_{\rm sat} < 0.3$非线性饱和检验RISKY
A-5涡流阻尼准静态$\mu_0 \sigma_p t_p v_{\rm max} < 0.05$磁雷诺数RISKY
A-6车轴和支架刚性频率范围内无弯曲模态模态分析SAFE
A-7除指定接触外无 3D 重叠所有非接触对符号距离 $> 1$ mm3D 碰撞检验LOAD-BEARING
"LOAD-BEARING" 含义：若此假设失败，主结论（加速发生）崩溃。必须显式验证。
"RISKY" 含义：判据仅勉强满足，或我们不确定。每个 RISKY 假设为生产运行生成一个数值验证任务。
"SAFE" 含义：即使此假设完全失败，主结论也不变。
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Step 1: 从磁化强度到表面磁荷（为方程 1 做准备）

刚性、均匀磁化的磁体内部无体磁荷（$\nabla \cdot \mathbf M = 0$）。外部场等价于极面上的表面磁荷：

$$\sigma(\mathbf r) = \mathbf M \cdot \hat{\mathbf n}(\mathbf r)$$

其中 $\hat{\mathbf n}$ 是外法向。

固定磁体：磁化 $+M_b \hat{\mathbf z}$ 意味着只有顶面和底面携带电荷 $\pm M_b$。侧面 $\mathbf M \cdot \hat{\mathbf n} = 0$。

车轮磁体：磁化 $\pm M_w \hat{\mathbf y}$ 意味着只有两个环形面（法向 $\hat{\mathbf y}$）携带电荷 $\mp M_w$（$y>0$ 轮）和 $\pm M_w$（$y<0$ 轮）。

物理意义：我们用表面上的等效电荷层替代磁体内部未知的微观电流。对均匀磁化这是精确的——不是近似。
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Step 2: 成对相互作用能（方程 1）

$$U_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\iint\frac{\sigma_1(\mathbf r)\sigma_2(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,dS\,dS'$$

每个符号的含义：

物理意义：这是把两块磁体从无穷远移到当前位置的能量代价。同号电荷（$\sigma_1 \sigma_2 > 0$）相斥 → 正能量；异号电荷相吸 → 负能量。
为什么是这个形式：这是静电能的磁类比。对刚性、均匀磁化磁体是精确的——无多极展开、无近似。
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Step 3: 从成对能到总势能景观 $U(s)$

车有 2 个车轮磁体；轨道每侧有 $N$ 个固定磁体。总势能是所有车轮-固定磁体对的求和，加上板自能（来自方程 3）：

$$U(s) = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{N} U_{12}^{(i,j)}(s) + E_{\rm plate}(s)$$

其中：

$s$ 如何进入：车轮中心在 $\mathbf r_{w,\pm} = (L-s, \pm W/2, R)$。$s$ 增加（车宽→窄）时，每个车轮的 $x$ 坐标减小，改变方程 1 中的距离 $|\mathbf r - \mathbf r'|$。

物理意义：$U(s)$ 是势能景观——车行驶的磁"山坡轮廓"。如果 $U$ 随 $s$ 减小，车处于能量下坡，会加速。
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Step 4: 从能量到力（进入方程 2）

$$F_{\rm mag}(s) = -\frac{dU}{ds}$$
物理意义：这是驱动力。如果 $U$ 随 $s$ 增加而下降，$-dU/ds > 0$ 推车向前。大小告诉我们能量山坡有多陡。
它从哪来：这不是新假设——这是保守力的定义。这里的 $U(s)$ 正是 Step 3 的求和。
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Step 5: 运动方程（方程 2）

$$M_{\rm eff}\dot v=-\frac{dU}{ds}-\beta(s)v-\xi,\quad \xi\in F_{rr}\,\partial|v|,\qquad \dot s=v$$

每个符号的含义：

$M_{\rm eff} = 2m_w + m_a + I/R^2$ —— 有效质量：
车轮和车轴旋转，所以动能包含平动（$\frac{1}{2}(2m_w+m_a)v^2$）和转动（$\frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}I(v/R)^2$）。合并得 $\frac{1}{2}M_{\rm eff}v^2$。
$-\dfrac{dU}{ds}$ —— 磁驱动力：
来自 Step 4。势能景观的梯度，回答"场想往哪推车，用多大力"。
$-\xi$ —— 滚动阻力：
广义摩擦力。$\partial|v|$ 是 $|v|$ 的次微分：$v \neq 0$ 时取 $\mathrm{sgn}(v)$，$v=0$ 时取 $[-1,1]$ 区间。这意味着只有当 $|dU/ds| > F_{rr}$ 时车才开始动。
它从哪来：方程 2 中的 $U(s)$ 正是方程 1 对所有磁体对的求和，再加上方程 3 的修正（板自身的能量）。
它去哪：解这个常微分方程给出 $v(s)$ 和分类（exit / trapped / reversed）。出口速度 $v_f$ 告诉你预算是否花得明智。

滚动阻力 $\xi$ 的物理来源与推导

物理图像：滚动阻力来自接触斑的非弹性变形。车轮滚动时：

  1. 压缩：接触斑前缘材料被压缩
  2. 恢复：接触斑后缘材料膨胀，但不完全（滞回效应）
  3. 能量损失：压缩功 > 恢复功，差值以热形式耗散

这产生一个关于车轴的阻力矩 $\tau_{\rm rr}$，阻碍滚动方向。

从力矩到等效纵向力：

$$\tau_{\rm rr} = \mu_{\rm rr} N R$$

其中 $\mu_{\rm rr}$ 是滚动阻力系数（无量纲，硬轮-硬轨道典型值 $10^{-3}$–$10^{-2}$），$N$ 是法向载荷，$R$ 是车轮半径。

用虚功原理转换为平动方程中的等效纵向力：

$$F_{\rm rr} \cdot ds = \tau_{\rm rr} \cdot d\theta = \tau_{\rm rr} \cdot \frac{ds}{R}$$
$$\Rightarrow \quad F_{\rm rr} = \frac{\tau_{\rm rr}}{R} = \mu_{\rm rr} N$$
物理意义：$F_{\rm rr}$ 是保持车轮稳态滚动必须克服的恒定力。它与速度无关（硬轮-硬轨道接触），不同于黏性阻力。

次微分定律：因为滚动阻力是干摩擦效应（非黏性），遵循集值定律：

$$\xi \in F_{\rm rr} \, \partial |v|$$
$v=0$ 的物理意义：若驱动力不足，车保持静止：$|{-dU/ds}| \leq F_{\rm rr}$。只有当 $|{-dU/ds}| > F_{\rm rr}$ 时才启动。这是静阈值——无蠕变、无数值平滑。

能量台账：滚动阻力耗散功率：

$$P_{\rm rr} = F_{\rm rr} |v|$$

始终非负，确保总能量单调递减：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}M_{\rm eff}v^2 + U\right) = -\beta_{\rm total}v^2 - F_{\rm rr}|v| \leq 0$$
这就是为什么方程 2 中有 $-\xi$：它是与涡流阻尼 $-\beta(s)v$ 并列的耗散力，从磁预算中偷走能量。
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Step 6: 板响应（方程 3）

$$\mathbf M(\mathbf r)=\chi_p\,\mathbf H_{\rm local}(\mathbf r),\qquad \mathbf H_{\rm local}=\mathbf H_{\rm ext}+\mathbf H_{\rm demag}(\mathbf M)$$

每个符号的含义：

物理意义：板不只响应外场。它响应总局域场，包括自身磁化的反馈。这是一个自洽问题：$\mathbf M$ 产生 $\mathbf H_{\rm demag}$，改变 $\mathbf H_{\rm local}$，改变 $\mathbf M$。
它去哪：解出的 $\mathbf M$ 给出板能量 $E_{\rm plate} = \frac{\mu_0}{2}\int \mathbf M \cdot \mathbf H_{\rm demag}\,dV$，修改 Step 3 中的 $U(s)$。它也修改涡流阻尼 $\beta(s)$，因为总 $\mathbf B$ 场包含板的响应。

自洽循环（总结）

基本变量 (lx, ly, hb, Mb, R, r, hw, Mw, N, a, θ, L, tp, χp, σp) ↓ Step 1: 表面磁荷 σ = M·n ↓ Step 2: 方程 1 —— U12 = (μ0/4π) ∬ σ1σ2/|r-r'| dS dS' ↓ Step 3: 求和 + E_plate —— U(s) = Σ U12 + E_plate ↓ Step 4: 力 —— F = -dU/ds ↓ Step 5: 方程 2 —— M_eff v̇ = -dU/ds - β(s)v - ξ ↓ 运动改变 B 场 → 影响板 ↓ Step 6: 方程 3 —— M = χp H_local, H_local = H_ext + H_demag(M) ↓ M 修改 U(s) 和 β(s) → 回到方程 2
这是完整的推导链。每个符号要么是 Step 0 的基本变量，要么在 Step 1–6 中显式定义。没有符号无源出现。

附录 A：工程实现细节

数值计算时，耦合本构律 $\mathbf M=\chi_p\mathbf H_{\rm local}$ 被离散化到网格上。设 $f_p(x,y)$ 为冻结梯形内的精确单元面积分数，使用变换未知量 $\mathbf Q=\sqrt{f_p}\,\mathbf M$。离散系统是对称正定（SPD）线性系统：

$$\left[I+\chi_p\sqrt{f_p}\,\mathcal N^{(n_z)}\sqrt{f_p}\right]\mathbf Q=\chi_p\sqrt{f_p}\,\mathbf H_{\rm ext}$$

其中 $\mathcal N^{(n_z)}$ 是 $n_z$ 层退磁算子（由第 6.1 节 Fourier 表示计算的 Hermitian 半正定矩阵），$\sqrt{f_p}$ 是梯形面积分数掩码。

工程形式性质：

本附录是唯一出现矩阵形式的地方。正文使用物理本构律（方程 3）及其耦合场解释。

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